For Teachers

“Matematika atau Matematisasi”

Merupakan sebuah kebenaran bahwa tujuan pengajaran adalah untuk membantu murid belajar. Namun, proses belajar dan mengajar pada masa lampau lebih sering dianggap sebagai dua hal yang terpisah. Mengajar adalah apa yang dilakukan oleh guru. Ia dianggap sebagai orang yang mengetahui mata pelajaran yang diajarkannya dan harus mampu menjelaskannya dengan baik. Sedangkan murid diposisikan sebagai orang yang belajar. Mereka diharapkan untuk belajar dengan keras, mempraktekkan, dan mendengarkan agar dapat memahami mata pelajaran yang mereka pelajari. Jika mereka tidak belajar, itu adalah kesalahan mereka. Mereka mempunyai kesulitan dalam belajar, membutuhkan remedial, khawatir yang berlebihan, dan pemalas. Bahkan ketika kita berbicara tentang perkembangan, biasanya menyangkut tentang mengevaluasi murid untuk melihat apakah dari segi perkembangan, mereka siap menerima pembelajaran dari guru.

Menariknya, dalam beberapa bahasa, belajar dan mengajar merupakan bahasa yang sama. Dalam Bahasa Belanda misalnya, perbedaan antara belajar dan mengajar hanyalah pada kata depannya. Kata kerjanya sama. Leren aan berarti mengajar; leren van berarti belajar. Ketika belajar dan mengajar begitu dekat, maka akan terintegrasi dalam kerangka pembelajaran: mengajar akan dilihat sebagai sesuatu yang begitu dekat dengan belajar, bukan hanya dalam bahasa dan pikiran, tetapi juga dalam tindakan. Jika proses belajar tidak terjadi, maka tidak akan ada proses mengajar. Tindakan belajar dan mengajar adalah dua hal yang tidak dapat terpisahkan.

Sudah jelas bahwa guru yang berbeda mempunyai gaya yang berbeda dalam membantu murid belajar. Namun dibalik gaya tersebut, kerangkanya berdasarkan pada keyakinan guru tentang proses belajar mengajar. Kerangka tersebut, pada akhirnya, mempengaruhi bagaimana guru berinteraksi dengan murid, pertanyaan apa yang mereka tanyakan, ide-ide apa yang mereka kejar, bahkan aktivitas-aktivitas apa yang mereka rancang atau pilih. Para guru membuat banyak keputusan-keputusan penting, beberapa diantaranya dibuat dalam sepersekian detik untuk hal yang mendasar di dalam kelas. Dalam membuat keputusan tersebut, beberapa guru dituntun oleh struktur matematika atau seperangkat buku pegangan, sedangkan yang lainnya dituntun dengan perkembangan murid.

Belajar dan Mengajar di Kelas

Sebagai contoh, mari kita lihat kelas Madeline Chang (guru kelas 1 taman kanak-kanak) di kota New York dan mari kita mencoba untuk menentukan kerangka pembelajaran apa yang mendasari keputusannya.

“hei …. Aku melihat sebuah pola!” seru Roland dengan riangnya. Dia menunjuk pada sebuah diagram besar yang menggambarkan kombinasi dimes (uang koin senilai sepuluh sen) dan pennies (uang koin senilai satu sen). Teman kelasnya kemudian datang mengelilingnya.

Sebelumnya Madeline telah memberitahukan kepada ke 27 murid di kelasnya tentang neneknya di China, yang telah membuat kalung manik-manik yang cantik. Selama beberapa minggu, murid tersebut telah membuat kalung yang mirip dengan kalung tersebut dengan menggunakan lima manik-manik dengan warna yang sama, kemudian diselingi dengan lima manik-manik yang berwarna lain, kemudian lima manik-manik yang warnanya sama dengan lima manik-manik yang pertama, kemudian lima manik-manik dengan warna yang sama dengan lima manik-manik yang kedua, begitu seterusnya. Mereka telah membuat manik-manik yang banyak dengan ukuran berbeda, beberapa diantaranya cukup kecil sehingga lebih cocok untuk digunakan sebagai gelang. Mereka pertama-tama merancang kalung tersebut dengan membuat gambar atau dengan menggunakan kubus satuan, karena manik-manik terlalu kecil, serta manik-manik yang terbuat dari gelas cukup mahal. Kalung tersebut akan dijual pada pertemuan PTA seharga satu sen per satu kalung. Hari ini, murid sedang menghitung berapa harga satu buah perhiasan tersebut dan membuat diagram besar untuk semua kombinasi dimes dan pennies yang dapat digunakan oleh pelanggan untuk membayar mereka.

“lihat,” Roland berseru kembali, “ada dua di sebelah sana (ia menunjuk pada angka 2 dibawah gambar dime) dan nol disana (ia menunjuk angka 0 yang berada dibawah gambar penny), dan keduanya adalah angka yang sama dengan angka 20! Dan itu sama dengan empat belas. Itu angka satu (dime) dan angka empat (pennies)!”

“Oh wow, Roland, itu hal yang menarik,” kata Madeline menanggapi dengan senang hati. Ia telah merancang penemuan tersebut dengan hanya “horison” nilai tempat di dalam pikirannya. Ia berharap dengan menyarankan murid menghargai satu dime untuk setiap 10 buah manik-manik serta dengan aturan tersebut, ia membuat diagram yang mengurutkan harga yang ada, pola yang sekarang telah ditemukan oleh Roland akan menjadi fokus diskusi mereka. Untuk meningkatkan momen pengajaran matematika yang penting ini, ia mencoba untuk mengajak murid kedalam percakapan. “siapa yang mengerti apa yang Roland temukan?”

“saya,” kata Tara, kemudian melompat untuk bergabung dengan Roland di dekat diagram. “lihat, 1 dan 4, artinya 14, 2 dan 0, artinya 20.”

Madeline mencoba untuk mempertinggi moment pengajaran matematika tersebut dengan membuat sedikit kebingungan. “Tetapi satu dan empat jika dijumlahkan tidak menghasilkan empatbelas. Berapa yang mereka hasilkan?”

“Lima,” Tara merespon dengan ekspresi kebingungan. “ya,” Madeline meyakinkan. “Jadi mengapa diagram tersebut mempunyai pola tersebut?” Ia melihat murid disekelilingnya dengan banyak arti, muka kebingungan.

“Oh …. saya sepertinya tahu.” Ellie mengajukan penjelasan sementara. “ itu sepuluh sen, jadi itu menjadi empat …”

“Menjadi empat?” Madeline mengulanginya.

Ellie menjelaskan lagi, kali ini dengan lebih sedikit yakin. “ satu dime sama dengan 10 sen, jadi itu menjadi empat belas, bukan lima.”

Stephen ikut dalam percakapan. “Saya tahu yang ia maksud. Jika kamu memindahkan angka 0 diatas angka 1, itu menjadi 10. Itu seperti sepuluh, tapi bukan.”

“Tidak, itu benar sepuluh,” Ellie menggelengkan kepalanya tanda tidak setuju, “ karena itu bukan satu penny, itu satu dime. Itu kelihatan seperti hanya satu sen, tapi itu dibawah dime dan satu dime sama dengan sepuluh sen.”

Ide ini, bahwa sepuluh sen (dalam satu kesatuan) dapat juga menjadi satu kesatuan, merupakan ide besar bagi murid tersebut! Mereka baru saja menyadari bagaimana menghitung yang bermakna, menggunakan hanya satu kata untuk setiap objek,  dan sekarang, strategi berhitung orisinil tersebut kelihatannya berlawanan! Bukan satu kata untuk satu objek, tapi satu kata untuk satu kelompok puluhan! Bagaimana bisa sepuluh secara serempak menjadi satu?

Pendapat Ellie mulai meyakinkan bagi beberapa murid lain, jadi Madeline memperluas diskusi. “Bagaimana dengan angka dua untuk dua puluh sen?”

“Itu dua dimes!” beberapa murid berteriak secara serempak.

Madeline menantang pemikiran mereka lagi. “Saya ragu jika nol akan muncul lebih sering? Jumlah berapa yang tidak menggunakan pennies?” Pertanyaan ini sulit. Meskipun beberapa murid dapat melihat bahwa empat belas terbentuk dari sepuluh dan empat, atau satu puluhan dan empat satuan, dan dua puluh terbentuk dari dua puluhan, dapatkah mereka memperluas ide tersebut untuk bilangan lain? Untuk dapat betul-betul paham dengan nilai, abstraksi reflektif harus dimunculkan, yakni pola yang mereka temukan harus diperluas dari kasus spesifik tersebut ke bilangan secara umum (Piaget 1977).

Ellie mengajukan terkaan lain. “Saya pikir mungkin tigapuluh. Mungkin sepuluh, duapuluh, tigapuluh, empatpuluh, limapuluh, enampuluh, tujuhpuluh, delapanpuluh, sembilanpuluh, dan seratus tidak menggunakan pennies.”

“Jadi, sekarang kita dapat mengecek terkaan Ellie. Perhatikan apa yang telah kamu kerjakan, Roland!” Madeline tersenyum hangat kepada Ellie dan Roland dan mereka tersenyum balik.

Apa yang terungkap?

Pandangan sekilas terhadap kelas Madeline tersebut menunjukkan sebuah pendekatan yang sangat berbeda terhadap matematika dari yang sering kita alami di waktu sekolah kita dulu. Secara tradisional, matematika dipersepsikan sebagai sebuah disiplin yang siap pakai untuk diteruskan oleh guru yang terampil dalam hal mentransfer atau menjelaskan secara jelas. Di dalam kelas yang sering kita masuki, para guru berdiri di depan papan tulis dan menjelaskan tentang nilai tempat, sebagian besar dari mereka hanya menggunakan simbol-simbol dan kata-kata. Beberapa mungkin menggunakan blok basis sepuluh atau sekumpulan sedotan untuk menjelaskan bagaimana bisa sepuluh objek menjadi satu puluhan. Sebagian kecil diantara mereka bahkan mungkin memperkenalkan permainan seperti pertukaran chip, berharap bahwa dengan transaksi tersebut akan mebimbing murid untuk memahami konsep nilai tempat. Tetapi premisnya selalu sama. Guru adalah air mancur kearifan yang memahami bahwa matematika adalah disiplin berpikir untuk melingkupi fakta-fakta, kemampuan, konsep-konsep, rumus-rumus dan algoritma, dan disiplin ini dapat dipindahkan, dijelaskan, dipraktekkan, dan dipelajari jika guru benar-benar mengetahuinya dan para pelajar tekun mempelajarinya. Kebanyakan murid di dalam pelajaran matematika tidak melihat matematika sebagai sesuatu yang kreatif, tetapi malah sebagai sesuatu yang perlu dijelaskan oleh guru, kemudian dipraktekkan dan diaplikasikan. Seseorang mungkin menyebut pandangan tradisional ini sebagai “matematika sekolah.”

Matematikawan, disisi lain, tertarik dalam praktek yang berbeda. Mereka membuat makna didalam katanya dengan menetapkan relasi-relasi spasial dan dapat dihitung, dengan mengetahui pola dan transformasi, dengan membuktikannya secara umum, dan dengan mencari solusi-solusi yang elegan. Mereka merekonstruksi matematika baru untuk memecahkan masalah-masalah real atau untuk menjelaskan atau membuktikan pola-pola yang menarik, relasi-relasi, atau puzzle-puzzle di dalam matematika itu sendiri. Salah satu matematika terkenal David Hilbert pernah mengatakan bahwa ia menyukai membuktikan sesuatu, paling tidak tiga atau empat cara yang berbeda, karena dengan melakukan cara tersebut ia lebih memahami relasi yang ada. Di dalam hati matematika merupakan proses membuat relasi-relasi dan mencoba untuk membuktikan relasi-relasi tersebut secara matematis, dalam rangka mengkomunikasikannya kepada yang lain. Kreativitas merupakan inti dari apa yang dilakukan oleh matematikawan.

Menariknya, ahli patung Henry Moore menggambarkan pekerjaannya dalam banyak cara yang sama dengan apa yang dilakukan oleh Hilbert. Ia mengatakan bahwa sebelum ia memahat, ia selalu menggambar sesuatu beberapa kali untuk belajar lebih tentang itu. Akhirnya, kita semua menemukan cara-cara untuk membuat makna dari interaksi-interaksi kami di dalam dunia. Proses merekonstruksi makna adalah proses belajar. Kita pada dasarnya membuat pengetahuan kita; kita tidak menemukannya. Penulis membuat makna ketika mereka merumuskan cerita dan narasi, ketika mereka membangun karakter dan plot, ketika mereka memainkannya dengan kata-kata dan metapor. Ilmuwan membuat makna dengan keingintahuan mereka akan fenomena ilmiah, dengan berhipotesis, merancang, dan melakukan eksperimen-eksperimen, dan kemudian dengan memberikan penjelasan-penjelasan untuk mendukung temuan mereka. Musisi mendengarkan irama, ritme, harmoni, kejanggalan bunyi, dan melodi sebagaimana mereka berinteraksi didalam katanya: seniman melihat warna, bentuk, tekstur dan garis.

Di dalam bidang lain selain matematika, kita telah mengerti kontruktif belajar yang alami tersebut. kita mengajar siswa untuk menjadi penulis yang baik dengan melibatkan mereka dalam proses menulis. Di bidang sains, kita menarik pelajar dalam penyelidikan secara aktif, dalam merumuskan hipotesis, dan dalam merancang eksperimen-eksperimen. Kita mengajarkan seni dengan memberikan kesempatan kepada murid untuk membuatnya. Pernahkah kita secara tradisional mengajarkan matematika di dalam kelas atau hanya “sejarah” matematika – beberapa konstruksi-kontruksi matematikawan dulu dan aplikasinya? Apakah ada hubungan antara “matematika sekolah” dan “matematika sesungguhnya”?

Sketsa dari kelas Madeline adalah bukti dari pandangan yang berbeda dari matematika – sesuatu yang lebih dekat sama dengan proses merekonstruksi makna – yang mungkin lebih baik disebut dengan istilah “matematisasi.” Anak-anak menyusun informasi kedalam diagram dan tabel, menyadari dan mencari pola-pola, meletakkan penjelasan-penjelasan dan terkaan-terkaan berikutnya, dan mencoba untuk meyakini pemikiran orang lain – semua proses yang membutuhkan bentuk kata kerja. Pandangan matematika ini telah disebutkan sebelumnya oleh matematikawan Belanda pada abad 20 yang terkenal yaitu Hans Freudenthal (1968) ketika ia berpendapat bahwa matematika adalah aktivitas manusia – proses pemodelan realitas dengan menggunakan alat-alat matematika.

Untuk menggeneralisasi matematisasi, Madeline membenamkan muridnya ke dalam investigasi yang berbasis konteks. Seiring dengan mereka membuat “draf arsitektur” dari perhiasan yang dimaksudkan dan menyempurnakan diagram tersebut untuk digunakan ketika menjual barang tersebut, mereka menyadari pola-pola numerik di dalam data mereka. Mereka mengeksplorasi pola-pola tersebut, dan mencoba untuk mencari tahu mengapa pola-pola tersebut muncul. Melalui proses tersebut, mereka memunculkan pertanyaan-pertanyaan metematika mereka sendiri dan mendiskusikannya di dalam komunitas matematika di dalam kelas mereka. Tapi apakah ini hanya proses saja? Bagaimana dengan konten? Apakah semua murid membangun pemahaman mereka tentang nilai tempat? Bahkan apakah nilai tempat merupakan tujuan dari pelajaran hari itu bagi murid?

Coba perhatikan epigraph berikut ini. “It’s the questions that drive mathematics. Solving problems and making up new ones is the essence of mathematical life. If mathematics is conceived apart from mathematical life, of course it seems – dead.” Ketika matematika dipahami sebagai matematisasi sebuah dunia – menginterpretasi, mengorganisasi, menyelidiki, dan membangun makna dengan lensa matematika, matematika menjadi kreatif dan hidup. “The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s, must be beautiful … There is no permanent place in the world for ugly mathematics.”

Secara tradisional, matematika telah diajarkan di dalam kelas kita seperti sebuah bahasa yang mati. Itu adalah sesuatu yang dulunya diciptakan oleh matematikawan, diaman sebagian besarnya mati – sesuatu yang harus dipelajari, dipraktekkan, dan diaplikasikan. Ketika definisi matematika bergeser menjadi “the activity of mathematizing one’s lived world,” konstruktif alamiah dari disiplin ini dan hubungannya terhadap pemecahan masalah menjadi jelas.

Ketika kita mendefinisikan matematika dengan cara ini, dan mengajarkan sesuai dengan hal itu, maka murid akan merasa tertantang. Mereka akan bergulat dengan ide-ide matematika. Mereka akan mengembangkan dan memperbaiki strategi-strategi sejalan dengan pencarian mereka akan solusi yang elegan, mereka akan membuat model-model matematika sebagaimana mereka berusaha untuk memahami dan menunjukkan dunia mereka. Karena proses matematisasi ini merupakan proses konstruktif, para guru butuh berjalan disisi antara struktur matematika dan perkembangan murid. Sisi ini adalah petualangan yang melewati landskape pembelajaran yang terdiri dari strategi-strategi, ide-ide besar, serta model-model. Dari perspektif matematika sebagai matematisasi, hal itu merupakan aktivitas matematika dari murid yang pada akhirnya adalah hal yakni: strategi-strategi, ide-ide besar, dan model-model harus dipahami sebagai menskematisasi, menyusun, dan memodelkan. Mengajar harus dilihat sebagai sesuatu yang secara bawaan berhubungan dengan belajar.

Murid, dalam belajar mematematisasi dunia mereka, akan melihat matematika sebagai sebuah disiplin hidup, dengan mereka sendiri sebagai bagian dari komunitas matematika kreatif, konstruktif dan pekerja keras.

Sumber:

Fosnot, C. T., dan Dolk, M. 2001. Young Mathematicians at work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. New Hampshire: Heinemann.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s